Dobra je pretpostavka privlačna poput magneta umu matematičara. U najboljem slučaju, matematička teorija iznosi nešto iznimno duboko na iznimno precizan i sažet način, vapeći za potvrdom ili opovrgavanjem.
No, teško je doći do dobre pretpostavke. Mora biti dovoljno duboka da izazove radoznalost i istraživanje, ali ne smije biti tako opskurna da je uopće nije moguće shvatiti. Mnogi poznati matematički problemi su pretpostavke, a ne rješenja, kao što je Fermatov posljednji teorem, piše Vice.
Skupina istraživača s izraelskog Techniona i Googlea u Tel Avivu predstavila je automatizirani sistem nagađanja pod nazivom Ramanujanov stroj. Ime je dobio prema matematičaru Srinivasi Ramanujanu, koji je razvio hiljade inovativnih formula i teorija iako nije imao gotovo nikakvo formalno obrazovanje.
Softverski sistem već je postavio nekoliko originalnih i važnih formula za univerzalne konstante koje se pojavljuju u matematici. Ovaj rad objavljen je nedavno u časopisu Nature.
Jedna od formula koju je postavila ova mašina može se koristiti za izračunavanje vrijednosti univerzalne konstante nazvane Katalanov broj (op.a. niz nazvan u čast belgijskog matematičara Eugèna Charlesa Catalana), i to učinkovitije od bilo koje dosadašnje formule koju su otkrili ljudi.
No, Ramanujanova mašina nije zamišljena tako da se samostalno bavi matematikom, nego da pruži potporu postojećim matematičarima. Kao što su istraživači objasnili u svome radu, cjelokupna matematička disciplina može se raščlaniti na dva procesa - nagađanje i dokazivanje. S obzirom na sve više pretpostavki, više je i posla za matematičke umove koji ih moraju dokazati i objasniti. To ne znači da njihov sistem nije ambiciozan.
Šta je Ramanujanova mašina?
Kako kažu istraživači, Ramanujanova mašina pokušava zamijeniti matematički intuiciju velikih matematičara i vodi u dalja matematička istraživanja. Pritom nije riječ o univerzalnoj matematičkoj mašini. Umjesto toga, on iznosi formule o tome kako izračunati vrijednosti određenih brojeva koji se nazivaju univerzalnim konstantama. Najpoznatiji takav broj je pi, koji daje omjer opsega i promjera kruga. Pi se može nazvati univerzalnim jer se pojavljuje u cjelokupnoj matematici, a konstanta je zato što zadržava vrijednost za svaki krug, bez obzira na veličinu.
Ovaj sistem posebno izvodi pretpostavke o vrijednost univerzalnih konstanti, napisane u smislu elegantnih formula koje se nazivaju kontinuiranim razlomcima. Riječ je o složenim razlomcima. Nazivnik u kontinuiranom razlomku uključuje zbroj dviju vrijednosti, od kojih je druga i sama razlomak čiji nazivnik također sadrži razlomak i tako dalje u beskonačnost.
The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants https://t.co/cdferqi58T pic.twitter.com/R06SgPf2bv
— algoritmic (@algoritmic) February 15, 2021
Kontinuirani razlomci dugo su zaokupljali matematičare svojom neobičnom kombinacijom jednostavnosti i dubine, a ukupna vrijednost razlomka često je jednaka važnim konstantama. Osim što su "suštinski fascinantni" u svojoj estetici, oni su također korisni za određivanja temeljenih svojstava konstanti, napisali su Robert Doughtery-Bliss i Doron Zeilberger sa Univeziteta Rutgers u svome pretprintu.
Dva osnovna algoritma
Ramanujanova mašina je građena na dva osnovna algoritma. Oni pronalaze kontinuirane razlomke koji su s visokim stupnjem pouzdanosti jednaki univerzalnim konstantama. Pouzdanost je važna jer bi se inače pretpostavka lako mogla odbaciti i ne bi bila posebno vrijedna. Svaka pretpostavka ima oblik jednadžbe. Ideja je da vrijednost na lijevoj strani znaka jednakosti, formula koja uključuje univerzalnu konstantu, bude jednaka vrijednosti na desnoj strani, kontinuiranom razlomku.
Da bi došao do pretpostavke, algoritam odabire proizvoljnu univerzalnu konstantu za lijevu stranu i onda proizvoljni kontinuirani razlomak za desnu stranu i potom izračunava svaku stranu posebno uz određenu preciznost.
"Ramanujan machine", an algorithm to make Ramanujan-like formulas using mathematical constants. I only know Euler constant here. https://t.co/Gdbxx6gJWh pic.twitter.com/dgYw1JD2NZ
— Teppei Katori (香取哲平) (@teppeikatori) February 18, 2021
Ako se čini da se dvije strane poklapaju, vrijednosti se izračunavaju s većom preciznošću kako bi se postiglo da njihovo izjednačavanje nije slučajnost. Ključno je da već postoje formule za izračunavanje vrijednosti univerzalnih konstanti kao što je pi do proizvoljne preciznosti pa je vrijeme izračuna jedina prepreka provjeri podudarnosti obiju strana jednadžbe.
Nova pretpostavka
Prije algoritama poput ovih matematičari su morali koristiti postojeće matematičko znanje i teoreme da postave pretpostavku. No, s automatiziranim pretpostavkama matematičari će ih moći koristiti za obrnuti postupak skrivenih teorema ili postizanje boljih rezultata, kao što su već pokazali Doughtery-Bliss i Zeilberger.
Međutim, najvažnije otkriće dosad nije skriveno znanje, nego nova pretpostavka iznenađujuće važnosti. Ova pretpostavka omogućava izračun Katalanove konstanta, specijalizirane univerzalne konstante čija vrijednost se koristi u mnogim matematičkim problemima.
Kontinuirani razlomak ove novootkrivene pretpostavke omogućava najbrže izračunavanje Katalanove konstante, puno brže od prethodnih formula. Čini se da ovo označava novu točku napretka u računarstvu, otprilike kao kad je računalo prvi put pobijedilo velemajstora, ali ovaj put u igri iznošenja pretpostavki, zaključuje Vice.
